Системы машин

Подходы к исследованию систем

Сокращение сроков создания, повышение конкурентоспособности, экологической безопасности и эффективности использования машин требуют проектирования их с учетом взаимосвязи и взаимообусловленности различных элементов систем машин и процессов взаимодействия с окружающей средой на основе стратегии, нацеленной на достижение конечных результатов.

Системный подход — направление методологии научного познания, в основе которого лежит исследование объектов как систем. Основной интерес для таких систем представляют задачи динамики, рассматривающие законы движения механических систем. Наиболее распространено определение системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии. Для формально-логических систем чаще применяется и такое определение: множество элементов, которые связаны между собой определенными соотношениями. Под "системой" подразумевается комплекс взаимосвязанных компонентов (элементов) машины, состоящей из деталей, узлов и агрегатов.

Исследование систем начинается с их анализа, описания поведения и свойств исходя из следующих принципов и подходов:

• описание составляющих частей и элементов системы не носит самодовлеющего характера, так как они описываются с учетом их места в системе и их влияния на свойства системы в целом;
• свойства системы порождаются из свойств составляющих ее элементов, и, наоборот, свойства элементов обусловливаются характеристиками системы в целом. Имеются свойства, которые принадлежат только всей системе в целом и не характерны для составляющих ее частей. Таким, в частности, свойством является устойчивость динамических систем; оно принадлежит всей системе и не может быть приписано какой-либо ее части в отдельности. Так, при соединении нескольких подсистем в одну систему нельзя сказать, что она будет устойчива, если ее части обладают в отдельности устойчивым поведением. И наоборот, несколько неустойчивых (нестабильных) подсистем при объединении могут образовать устойчивую систему;
• одни и те же элементы, как и система в целом, могут обладать разными свойствами и характеристиками и переходить из одного состояния в другое, изменять свое движение и степени свободы под воздействием тех или иных факторов;
• при системном подходе исследование системы, как правило, неотделимо от исследования условий ее существования (т. е. той среды, с которой она взаимодействует).

Классы систем

Существуют различные классификационные признаки систем, характеризующие их природу, свойства, поведение, взаимодействие с окружающей (внешней) средой, математический аппарат, применяемый для описания системы. Системы, артефакты, созданные человеком, — искусственные, а окружающая среда, с которой они взаимодействуют, — естественные.

Закрытые — те, которые можно рассматривать изолированно от окружающей среды или для которых влияние среды строго ограничено. В последнем случае сама среда может рассматриваться как составная часть системы, взаимодействующая с другими ее частями (например, дорога — машина, см. рисунок).

Общая структурная схема системы оператор — дорога — машина

Особенность управляемых (динамических) систем состоит в способности изменять свое движение, переходить из одного состояния в другое под влиянием различных управляющих воздействий. Последние в отличие от возмущающих воздействий, оказываемых на систему внешней средой (например, неровностями поверхности), по желанию оператора или системы автоматического управления могут принудительно изменяться в нужном направлении.

Поведение детерминированных систем можно предсказать, если известно, в каком состоянии они находились в предыдущий момент времени. Состояние вероятностных систем характеризуется значительной неопределенностью (из-за случайного характера начальных условий или факторов, определяющих их поведение). Случайными, например, могут быть возмущения от неровностей дороги, воздействующие на ходовую часть машины, или силы сопротивления, нагружающие ее рабочее оборудование.

Абстрактные системы не обладают физическими свойствами и существуют только в уме исследователя (они представляются в виде символов или количественных значений). Примером абстрактных систем служат математические модели.

Подразделение систем на простые и сложные весьма условно. Все зависит от того, насколько существенную роль играют при изучении объекта, представляемого как система, взаимосвязи между отдельными его частями и элементами и теми задачами, ради которых предпринимается исследование. Если эти вопросы существенны и в задачу исследователя входит изучение влияния отдельных частей (подсистем) и элементов на свойства системы в целом, то такую систему следует отнести к разряду сложных систем.

Сложные системы можно представить в виде многоуровневых конструкций, состоящих из взаимодействующих между собой подсистем и элементов, которые изучаются или проектируются "по частям". Такой подход позволяет, с одной стороны, лучше выявить механизм взаимодействия отдельных частей системы и их влияние на ее свойства, а с другой — существенно упростить структуру математической модели системы. К классу сложных правомерно отнести так называемые челове-комашинные" системы, объединяющие человека и технические и иные средства, с помощью которых выполняется тот или иной процесс. Такой системой является система автоматизированного проектирования конструкций или технологических процессов.

Помимо перечисленных классов систем в различных дисциплинах используются и другие классификационные признаки. Так, в зависимости от природы системы и законов, которым подчиняется ее функционирование, различают механические, гидравлические, пневматические, термодинамические и электрические системы, в основе которых лежат соответственно законы механики, гидравлики, газо- и термодинамики и'электротехники. В зависимости от вида дифференциальных уравнений, описывающих поведение механических систем, различают линейные и нелинейные механические системы. Первые описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, а вторые — нелинейными дифференциальными уравнениями или линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами.

Линейные и нелинейные системы в механике

В зависимости от свойств и класса дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, различают линейные и нелинейные системы. Подобное разделение систем удобно, во-первых, тем, что с помощью линейных математических моделей оказывается возможным исследовать довольно широкий круг основных явлений, происходящих в механических системах. Во-вторых, интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в математическом отношении не представляет больших сложностей, в то время как решение нелинейных уравнений и линейных с переменными коэффициентами требует применения сравнительно сложного математического аппарата.

Однако во многих случаях явления, происходящие в механических системах, в принципе не могут быть исследованы с помощью линейных моделей. Возникновение нелинейности может быть обусловлено различными факторами.

Нелинейность упругих (жесткостных) характеристик отдельных звеньев механизма (муфты с фасонными пружинами, резиновые и шинно-пневматические муфты, шариковые подшипники) может быть вызвана как свойствами материала, не подчиняющегося закону Гу-ка (например, резины), и конструкцией самого элемента (например, коническая витая пружина сжатия), так и наличием зазоров в соединениях деталей механизма (особенно в зубчатых зацеплениях).

Нелинейность сил сопротивления. Существенно нелинейны многие силы внутреннего трения в материалах, действие которых выражается в так называемых "гисте-резисных" потерях энергии при деформации соответствующих элементов. Эти диссипативные свойства часто используются для уменьшения амплитуд колебания механических систем и подавления нежелательных нелинейных явлений.

При больших скоростях приходится учитывать нелинейный характер гидравлических сопротивлений в гидравлических демпферах. При малых скоростях поршня в цилиндре силы сопротивления могут быть линеаризованы. Однако диссипативные сопротивления не всегда оказывают на механическую систему демпфирующие воздействия. В других механических системах те же сопротивления могут возбуждать нелинейные колебания. Простейший пример такого "отрицательного демпфирования" — сопротивление, пропорциональное скорости: F(v) = F₀ - kdS/dt. Такие сопротивления порождают так называемые "автоколебания" (или "самовозбуждающиеся колебания"), характерные для фрикционных механизмов.

Самовозбуждающиеся колебания могут возникать как при наличии так называемого "жидкого" трения, так и из-за трения между двумя твердыми сухими поверхностями. Следует, однако, отметить, что условия возникновения автоколебаний существенно зависят от динамических характеристик самой системы. Если они возникают вблизи равновесного состояния системы, то исследование ее устойчивости можно свести к решению линейной задачи, воспользовавшись теоремой А. М. Ляпунова или теоремой Гурвица, устанавливающей необходимые и достаточные условия устойчивости заданного движения. Если же нас интересует определение не только условий устойчивости, но и амплитуды автоколебания, то приходится иметь дело с нелинейной задачей.

Нелинейность внешних сил, нагружающих рабочие органы машины. Например, зависимость силы сопротивления при обработке металлов от скорости резания. Аналогичная нелинейность имеет место при резании древесины, грунтов и многих других материалов. Нелинейны механические характеристики ДВС, электрических двигателей (постоянного и переменного тока), гидромуфт, гидротрансформаторов и гидрообъемных передач.

Нелинейность процессов движения возникает, например, при отрыве колес или гусениц машины от поверхности качения. С нелинейностью системы приходится иметь дело при исследовании опрокидывания колесных и гусеничных машин под действием изменяющихся во времени динамических нагрузок.

Нелинейность, обусловленная переменностью параметров систем. Например, систем с переменной массой или с изменяющимся при движении моментом инерции: дозирующие устройства или питатели, служащие для подачи насыпного материала к рабочим органам машины; устройства для внесения жидких удобрений; вибрационные конвейеры и сепараторы (в последних масса может оставаться постоянной, но из-за перераспределения масс происходит изменение моментов инерции звеньев механизма). При плоско-параллельном движении какой-либо машины может изменяться положение перемещаемого груза, что приводит к изменению общего центра масс машины.

Неголономные системы — механические системы, на которые, кроме геометрических, налагаются кинематические связи, не сводящиеся к геометрическим. Неголономные связи выражаются непосредственно неинтегрирующимися уравнениями вида ƒ(x_i, у_i, z_i, x_i, у_i, z_i, t) = О (здесь х_i, y_i, z_i и x_i, у_i, z_i — координаты точек механической системы и проекции их скоростей).

Особенность тягово-транспортных машин — наличие неголономных связей, которые в общем случае осуществляются совокупностью упругого и фрикционного элементов. При их последовательном расположении реакция связи представляется функцией деформации и скорости деформации упругого элемента. Метод декомпозиции системы при составлении математической модели предполагает расчленение системы внешняя среда — машина путем разделения неголономных связей на четыре подсистемы: двигатель — трансмиссия — ведущие колеса; остов — подвеска — мосты — шины — агрегатируемая машина; внешняя среда; неголономные связи. На каждую из них составляют математические модели, объединяя выделенные автономные подсистемы в единую систему.

Основные свойства управляемых систем. Особенности кибернетических систем
(относятся к категории управляемых)

Предполагается, что количество информации на входах и выходах системы контролируемо и ограничено теми целями, для выполнения которых предназначена данная система. Ряд свойств кибернетических систем не обязательно присущ системам другого класса. К таким свойствам, в частности, относятся: множественность поведения; управляемость; наличие управляющей и управляемой части; способность взаимодействовать с окружающей средой как непосредственно, так и через управляющее устройство; наличие каналов передачи информации как в самой системе, так и между другими системами и средой; вероятностный характер поведения; наличие обратной связи между управляющей и управляемой частями.

Каналами передачи информации в кибернетических системах могут служить как реальные каналы (электропроводы, телефонные и телеграфные линии, трубопроводы гидравлических систем), так и нервная система человека. По каналам связи первичная информация передается к органу, задача которого состоит в том, чтобы на основе полученной информации принять решение, т. е. переработать принятую информацию в сигнал управления и передать его управляющей части. Перерабатывается информация человеком, ЭВМ или иными управляющими устройствами. Таким образом, первая особенность кибернетики — информационный подход к процессам управления.

Вторая особенность состоит в том, что с развитием кибернетики особенно возросло значение дискретной формы представления информации. Это позволило сделать компьютерную технику основной базой кибернетики и широко использовать методы математического моделирования для исследования и анализа широкого класса изучаемых систем. В качестве примеров можно привести модели в виде системы автоматического регулирования, сети массового обслуживания, транспортную, матричную модель межотраслевого баланса и др.

Третья особенность кибернетики — любой процесс управления считается подверженным возмущающим (случайным) воздействиям. Для производственных процессов это обусловлено тем, что они находятся под влиянием такого большого числа факторов, что учесть их детерминированным образом не представляется возможным. Для технических средств вероятностный подход часто обусловлен случайным характером воздействующих на них факторов.

Для анализа процессов, происходящих в системах управления, обычно используют одномерные системы (т. е. системы с одним входом и одним выходом). В действительности большинство таких машин, как тракторы, автомобили или др., представляют собой многомерные системы с несколькими входами и выходами, причем каждое входное воздействие может одновременно влиять на несколько выходных сигналов. В этом случае многомерность системы определяется не только числом учитываемых параметров, но и взаимными связями между ними.

В сложных системах управления некоторые выходные величины одной части системы могут одновременно являться входными величинами другой части. В этом случае часть каналов может оставаться свободной, одни входные сигналы могут миновать такие подсистемы, а число выходных может быть меньше числа входных сигналов, что объясняется определенной взаимосвязью некоторых входных воздействий.

Механизм обмена между входными и выходными сигналами в сложных динамических системах зависит от их свойств и особенностей. Так, для линейных систем входные сигналы, трансформируясь в выходные, полностью сохраняют свою форму и между ними существует определенное линейное соотношение, которое может быть выражено через так называемый "линейный" оператор H: y(t) = Hx(t) (здесь Н охватывает все действия над входным сигналом x(t), в результате которых образуется выходной сигнал y(t). Для нелинейных динамических систем трансформация входных сигналов в выходные происходит с существенными искажениями.

Формирование выходных сигналов зависит также от каналов связи системы. При исследовании динамических систем часто принимают, что во время прохождения по каналу связи сигнал не только не подвергается различного рода искажениям, но и передается мгновенно. Такие каналы идеальны и возможны только при допущении, что реальная система на самом деле никаких каналов связи не имеет, а они лишь условно вводятся для учета взаимодействия между подсистемами и элементами системы. Если же в реальной системе присутствуют реальные каналы связи, которые, естественно, не идеальны, то в этом случае возможны и искажения выходных сигналов, и их запаздывание во времени (т. е. реакция системы на действие входного сигнала проявляется не мгновенно, а с некоторым запаздыванием).

Математическое моделирование объектов. Принципы получения и использования математических моделей

Математизация изучаемых объектов состоит не в том, чтобы исключить из процесса познания эксперимент и наблюдение. Смысл математизации состоит в том, чтобы из точно сформулированных предпосылок выводить и прогнозировать то, что часто недоступно непосредственному наблюдению. Когда речь идет о еще не созданном техническом объекте, такое наблюдение вообще невозможно. Для того чтобы изучить физическую систему, используя метод математического моделирования, мы заменяем ее абстрактной системой — математической моделью — с теми же соотношениями, и наша задача становится чисто математической. Математическая постановка задачи имеет ряд серьезных достоинств.

Во-первых, она позволяет на принципиально иной основе провести предпроектное исследование системы и, используя соответствующий аналитический аппарат, выполнить с приемлемой для практики точностью сложные технические расчеты. Во-вторых, реализуя построенную математическую модель на ЭВМ, имеется возможность многократно и в широком диапазоне изменять входные параметры и условия функционирования проектируемой системы и, тем самым, заменить натурные испытания и эксперименты на физических моделях так называемым "вычислительным" экспериментом на ЭВМ.

Есть еще два важных свойства метода математического моделирования. Одно из них состоит в том, что с помощью этого метода системы и процессы, имеющие разное физическое содержание, часто могут быть исследованы на базе одинаковых математических моделей. В качестве такого примера в таблице приведены различные системы (в том числе и немеханические), которые описываются одинаковыми математическими моделями, отличающимися лишь постоянными параметрами. Если для механических систем (в таблице — это 1, 2, 3, 4) математические модели выражаются через обобщенные перемещения и ускорения (х, х, ф, ф, а, ä), то последняя система (5) представляет собой электрический контур, в котором емкость конденсатора обозначена С, его заряд в момент времени t — q(t) и индуктивность катушки — L.

Другая особенность метода математического моделирования состоит в том, что построение математических моделей не требует всеобъемлющей информации о проектируемом объекте. Достаточно знать только формы движения (поведения) системы и характер связей между ее составными частями. Например, при исследовании системы 3 (см. таблицу) совершенно безразлично, какие опоры имеет поступательно движущаяся масса m₁ — опоры скольжения или опоры качения, имеет ли она колесный или гусеничный движитель или каким типом соединения масса m₁ связана с массой m₂ (нужно только знать характер движения массы m₁ относительно массы m₂). Точно так же для системы 2 не имеют значения особенности конструкции упругих опор, что представляет собой тело, опирающееся на эти опоры (корпус или кузов машины, платформу и др.). Важно только знать формы движения тела, полученные под воздействием каких-то внешних факторов. Никаких других сведений для построения математической модели не требуется.

Прежде чем практическая задача становится объектом математического исследования, она должна пройти довольно длительный путь. Для этого, прежде всего, нужно четко сформулировать цели исследования, изучить и проанализировать необходимую исходную информацию и соответствующим образом ее обработать, установить наиболее существенные факторы, которые должны быть учтены при построении модели, и факторы, которыми можно пренебречь. Последнее позволит получить математическую модель, поддающуюся либо аналитическому решению, либо требующую небольших затрат машинного времени при реализации модели на ЭВМ.

Упрощая математическую модель явления, исследователь как бы очерчивает границы ее применимости. Выводы, полученные в результате реализации такой модели, уже не будут справедливы за пределами этих границ. В противном случае мы можем прийти к совершенно искаженному толкованию изучаемого явления.

Основные понятия и определения

Применение метода математического моделирования связано с использованием некоторых понятий и терминов, хорошо знакомых читателю, но требующих более строго определения.

Под процессом функционирования системы понимается последовательная смена ее состояний во времени, а под характеристикой системы — величины, характеризующие изменение состояний системы во времени. Так, профиль дороги q(t), выраженный в функции времени, служит одной из характеристик микропрофиля дороги. Вращающий момент M_д(t) на валу двигателя, выраженный в функции времени или частоты вращения вала двигателя n_д, является одной из характеристик двигателя.

Параметрами системы могут быть такие, как, например, жесткость или давление воздуха в шинах, их размеры и грузоподъемность, номинальное тяговое усилие трактора, максимальная скорость машины и др.

Начальные условия определяют начальное состояние системы. По ним находят произвольные постоянные общих решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие задачи называются задачами с начальными условиями (или задачами Коши), в которых в качестве независимой переменной выступает время t.

Величины, определяющие границы, в которых происходит изменение состояния системы, называются граничными или краевыми условиями. Задачи, содержащие граничные условия, в теории обыкновенных дифференциальных уравнений называются краевыми задачами, в которых частное решение удовлетворяет граничным условиям на концах отрезка а < х < Ь, т. е. при х = а и х = b.

Состояние системы (объекта) в каждый момент времени характеризуется одной или несколькими величинами x₁, x₂, ..., x_n, называемыми фазовыми координатами. Линия в пространстве (называемом фазовым), которую за некоторое время описывает фазовая точка x(t) = (x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t)), называется фазовой траекторией. Начальные условия определяют точку в фазовом пространстве состояний системы, из которой исходят допустимые траектории ее развития. В частном случае, когда изменение состояний системы характеризуется двумя фазовыми координатами, фазовая траектория лежит в плоскости, называемой фазовой.

Переход к проектированию современной сложной техники заставил существенно изменить соотношения между расчетными и экспериментальными методами, которые до недавнего времени в силу несовершенства и малой точности расчетных методов составляли до 30 % общей трудоемкости работ. При этом на первый план выдвигаются требования не только повышения точности традиционных расчетов, но и расширения круга задач, решаемых современными математическими методами, в частности теми, в основе которых лежат математические модели.

Математическая модель — это условный образ исследуемого объекта — совокупность соотношений (уравнений, неравенств, формул, графических образов или логических условий), связывающих характеристики процесса с параметрами объекта (системы), исходными данными и начальными условиями.

Математическое моделирование — это процесс исследования системы с помощью математических моделей. Оно включает в себя не только построение математической модели системы, но и ее предварительное изучение, выделение наиболее существенных характеристик системы, экспериментальный и теоретический анализ модели, ее решения, сопоставление результатов решения с известными данными о системе, корректировку модели и т. д.

Алгоритм — это описание таких действий, последовательное выполнение которых приводит к решению задачи. Каждое отдельное действие называется шагом алгоритма. Каждый алгоритм подразумевает наличие исходных: данных и ожидаемого результата. Для одной и той же задачи может существовать несколько различных алгоритмов ее решения.

Классификация математических моделей

Известны различные классификационные признаки математических моделей, связанные с классами систем, которые они описывают, с задачами, ради которых конструируются математические модели, с формой изображения и применяемым математическим аппаратом. Наиболее часто используются следующие классификационные признаки математических моделей.

По форме изображения:

• математические выражения — дифференциальные или алгебраические уравнения или неравенства. Для линейных систем, описываемых однородными уравнениями, алгебраическими или дифференциальными с постоянными коэффициентами и содержащих несколько переменных, математическая модель может быть представлена в матричной форме;
• логические условия (логические модели) — схемы алгоритмов и программ расчетов на ЭВМ;
• графические образы (графические модели) — графики, диаграммы, рисунки, эквивалентные и структурные схемы, графы.

• инвариантная — запись в виде выражений с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнения модели;
• аналитическая — запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели, выраженного соответствующей формулой;
• алгоритмическая — запись соотношений модели и выбранного численного метода в форме алгоритма.

• имитационные модели, предназначенные для имитации физических и информационных процессов, происходящих в системе. На базе таких моделей оказывается возможным проводить так называемый "вычислительный" эксперимент, в основе которого лежит некоторый вариант математической модели, с помощью которой, варьируя различными параметрами задачи (значениями коэффициентов уравнений, начальными или граничными условиями и др.), можно детально исследовать изучаемый процесс в рамках модели, не прибегая к натурному эксперименту или к использованию физических моделей;
• оптимизационные модели, предназначенные для выявления такого состояния системы или для нахождения таких ее параметров, которые по принятому критерию будут наилучшим образом удовлетворять поставленным требованиям. Иными словами, оптимизационные модели имеют целью ответить на вопрос — "как должно быть?";
• дескриптивные модели, предназначенные для объяснения наблюдаемых явлений или для прогноза поведения системы. Такие модели отвечают на вопросы — "как это происходит?", "как это будет развиваться?".

В зависимости от того, какие характерные особенности и свойства объекта отображают модели:

• функциональные модели, отображающие физические и информационные процессы, происходящие в моделируемом объекте;
• структурные модели, отображающие геометрические свойства объекта;
• коммутационные модели, отображающие соединения в моделируемом объекте.

Выбор математических моделей и требования к ним

Разнородность исследуемых и проектируемых систем, наличие большого числа факторов, от которых зависят их состояние и поведение, а также разные цели исследования приводят и к большому разнообразию математических моделей, применяемых для описания и проектирования систем. С одной стороны, они должны отражать основные закономерности функционирования систем, а с другой — вид используемых моделей диктуется задачами исследования. В самых простых случаях системы описываются простыми алгебраическими уравнениями. В более сложных случаях, когда требуется рассмотреть явление в динамике, вводят аппарат дифференциальных уравнений (обыкновенных или с частными производными). В тех случаях, когда развитие процесса или поведение исследуемой системы зависит от большого числа сложно переплетающихся между собой факторов, детерминированные модели вообще "отказываются служить". Для решения таких задач применяют методы статистического моделирования.

Детерминированные и статистические модели имеют свои достоинства и недостатки. Детерминированные модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-то допущений и упрощений, но результаты расчетов по ним более обозримы, отчетливее отражают присущие изучаемому явлению основные закономерности. Наконец, они более приспособлены для поиска оптимальных решений. Статистические модели более точны и подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое число факторов. Но у них есть недостаток: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени при реализации на ЭВМ и, главное, крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится часто искать путем догадок и проб.

Основные требования, предъявляемые к математическим моделям, — адекватность, универсальность и экономичность.

Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных величин модели и объекта. Если x_i — выходная величина, рассчитанная с помощью модели, а действительная выходная величина того же i-го параметра объекта x_i, то относительная погрешность ε_i = (x_i — x_i)/x_i. Погрешность модели ε_м по совокупности и учитываемых выходных величин оценивается выражением Точность модели может быть различна в разных условиях функционирования объекта, обусловленных разными внешними воздействиями (нагрузками, температурой внешней среды и др.) на моделируемый объект. Если задаться предельной допустимой погрешностью ε_пр, то в пространстве возможных изменений внешних воздействий на объект для принятых m условий его функционирования можно выделить область, в которой выполняется условие ε_м < ε_пр. Эту область называют областью адекватности модели.

Универсальность. Оценив совокупность входных (внешних воздействий на объект) и выходных величин x_i, отражающих изучаемые свойства объекта, мы можем определить область адекватности модели. Очевидно, что чем больше внешних воздействий и выходных параметров объекта может быть учтено в модели, тем шире ее возможности и тем она универсальнее.

Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов (машинного времени Т_М и объемом оперативной памяти П_М, необходимой для реализации модели).

Использование математических моделей

Есть три основных способа использования математических моделей: аналитическое исследование; исследование с применением численных методов; моделирование на ЭВМ.

Математическая модель может быть задана по-разному. В одних случаях — это набор отдельных характеристик исследуемой системы x_j(t) (j = 1, 2, ..., r), отражающих те или иные свойства системы. Эти характеристики выражаются через соответствующие параметры системы в виде аналитических зависимостей. В других — это формулы как результат решения этих уравнений или эксперимента (эмпирические модели). Однако на практике, говоря о математической модели системы, чаще всего имеют в виду первоначальную математическую модель, получаемую непосредственно в результате формализации рассматриваемой системы. Например, для динамической системы — это записанные в общем виде дифференциальные уравнения движения, которые затем решают аналитически или реализуют на ЭВМ. При использовании аналитических методов такую математическую модель необходимо преобразовать и привести к виду, удобному для интегрирования. Конечный результат этих действий обычно — построение явных формул для искомых величин.

Аналитические методы, несмотря на их привлекательность и наглядность получаемых результатов, не всегда применимы или приводят к недопустимо грубым результатам. В этих случаях приходится искать другие способы, например численные. При этом результаты обычно получаются в виде таблицы искомых величин для принятого набора параметров системы и начальных условий. Во многих случаях применение численных методов ограничено сложностью преобразований математической модели в соответствующую систему уравнений, так как вычислительная техника лишь автоматизирует процесс.

При моделировании на ЭВМ составляют программу, воспроизводящую изменение состояний системы, и с ее помощью получают данные, для сбора которых в ином случае пришлось бы проводить натурный эксперимент. Для этих целей разрабатывают моделирующий алгоритм и программу, сохраняя логическую структуру, последовательность чередования во времени, а иногда и физическое содержание процесса, описываемого математической моделью исследуемой системы.

Основные этапы формализации прикладных задач

Можно выделить три основных этапа формализации прикладных задач: содержательное описание изучаемого явления или объекта проектирования, построение формализованной схемы и, наконец, построение математической модели. Когда сформулирована поставленная задача, необходимо, прежде всего, собрать информацию об объекте, систематизировать и обработать ее. Если исследуемые объекты или процессы относятся к случайным системам, в которых или начальные условия, или условия функционирования, или параметры системы, либо все вместе — величины случайные, нужно собрать дополнительный статистический материал, достаточный для вычисления необходимых вероятностных характеристик. Словесное описание системы (процесса) обобщает все сведения о физической природе системы, ее количественных характеристиках, характер взаимодействия как между отдельными элементами, так и с внешней средой. Кроме этих сведений нужно в общем виде сформулировать постановку прикладной задачи и требуемую точность расчетов. На этапе содержательного описания постановка задачи может не иметь строгой математической формулировки, но она должна содержать полный перечень зависимостей, подлежащих оценке по результатам моделирования.

Следующий этап — построение основанной на точной математической формулировке задачи формализованной схемы в форме словесного описания (уже в формальном виде). При проектировании сложных технических систем формализованная схема сопровождается графическим изображением системы в виде эквивалентных или структурных схем. К графическому построению формализованных схем прибегают в тех случаях, когда из-за сложности системы непосредственный переход от содержательного описания к математической модели может вызвать большие трудности.

Построение математической модели сводится к получению соотношений, описывающих интересующие характеристики системы в функции ее параметров, внешних возмущений и начальных условий. Для одних систем могут быть использованы типовые математические схемы, для других требуется построить оригинальную математическую модель.